INNE EBOOKI AUTORA
Autor:
Wydawca:
Format:
pdf, ibuk
Współczesna analiza matematyczna to przedmiot trudny i zbyt obszerny, by można go było wyłożyć studentom bez odwoływania się do podręcznika. [...] W polskiej literaturze matematycznej brakuje podręcznika do analizy dostosowanego do programu studiów matematyczno-fizycznych wyższych uczelni technicznych. Niniejsza książka stanowi próbę wypełnienia tej luki.
(Z „Przedmowy” do pierwszego wydania)
Po latach wznawiamy podręcznik analizy matematycznej napisany przez wieloletniego wykładowcę Politechniki Warszawskiej z myślą o studentach wyższych szkół technicznych. W książce w sposób niezwykle przystępny zostały zaprezentowane zagadnienia omawiane na wykładach matematyki na pierwszym i drugim roku studiów:
- podstawowe pojęcia i twierdzenia topologii oraz analizy funkcjonalnej,
- rachunek różniczkowy,
- równania różniczkowe zwyczajne,
- teoria miary i całki,
- funkcje zmiennej zespolonej i analiza harmoniczna.
Na końcu paragrafów są zamieszczone ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Z podręcznika mogą także skorzystać studenci kierunków ścisłych na uniwersytetach i uczelniach pedagogicznych.
Plik PDF ma postać skanów, co uniemożliwia przeszukiwanie tekstu.
Rok wydania | 2009 |
---|---|
Liczba stron | 510 |
Kategoria | Analiza matematyczna |
Wydawca | Wydawnictwo Naukowe PWN |
ISBN-13 | 978-83-01-15970-2 |
Numer wydania | 5 |
Język publikacji | polski |
Informacja o sprzedawcy | ePWN sp. z o.o. |
INNE EBOOKI AUTORA
EBOOKI WYDAWCY
POLECAMY
Ciekawe propozycje
Spis treści
Wstęp | 13 |
§ 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe | 13 |
1. Zbiory | 13 |
2. Działania na zbiorach | 14 |
3. Produkty kartezjańskie | 15 |
4. Relacje równoważności. Podział na klasy | 15 |
5. Funkcje | 16 |
6. Zbiory przeliczalne | 20 |
§ 2. Liczby rzeczywiste | 22 |
1. Zbiór R liczb rzeczywistych jako ciało | 22 |
2. Relacja mniejszości. Zasada ciągłości | 23 |
3. Przedziały. Wartość bezwzględna | 25 |
4. Przykłady zastosowania zasady ciągłości | 25 |
5. Funkcje o wartościach rzeczywistych | 27 |
§ 3. Liczby zespolone | 28 |
1. Ciało C liczb zespolonych | 28 |
2. Geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Moduł i argument liczby | 29 |
3. Funkcje o wartościach zespolonych | 30 |
Rozdział I. Elementy topologii | 31 |
§ 4. Przestrzenie metryczne | 31 |
1. Definicja | 31 |
2. Średnica zbioru. Zbiory ograniczone | 31 |
3. Granica ciągu punktów | 32 |
§ 5. Granica ciągu liczbowego | 34 |
1. Własności granicy ciągu liczbowego | 34 |
2. Granica ciągu liczb rzeczywistych | 36 |
3. Przykłady | 39 |
4. Liczba e | 41 |
§ 6. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R | 43 |
1. Definicje | 43 |
2. Granice ekstremalne ciągu | 44 |
3. Granica ciągu | 46 |
4. Funkcje o wartościach w R | 48 |
§ 7. Przestrzenie metryczne zupełne | 49 |
1. Definicja. Zupełność przestrzeni R | 49 |
2. Twierdzenie o punkcie stałym | 50 |
§ 8. Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych | 52 |
1. Metryka i zbieżność w produkcie | 52 |
2. Produkt przestrzeni zupełnych | 54 |
§ 9. Granica funkcji | 55 |
1. Granica funkcji w punkcie | 55 |
2. Granica funkcji o wartościach liczbowych | 56 |
3. Granica funkcji o wartościach rzeczywistych | 57 |
4. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej | 58 |
5. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych | 59 |
6. Przykłady | 60 |
§ 10. Funkcje ciągłe | 63 |
1. Definicja i podstawowe twierdzenia | 63 |
2. Przykłady | 65 |
§ 11. Ciągi fukcyjne | 68 |
1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna | 68 |
2. Własność granicy ciągu zbieżnego jednostajnie | 69 |
§ 12. Przestrzenie topologiczne | 71 |
1. Topologia. Zbiory otwarte. Wnętrze zbioru | 71 |
2. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru | 73 |
3. Topologia w przestrzeni metrycznej | 74 |
§ 13. Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej | 77 |
1. Topologia indukowana | 77 |
2. Przypadek przestrzeni metrycznej | 78 |
§ 14. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych | 79 |
1. Topologia w produkcie | 79 |
2. Przypadek produktu przestrzeni metrycznych | 79 |
§ 15. Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych | 80 |
1. Definicja | 80 |
2. Homeomorfizmy | 81 |
§ 16. Przestrzenie ośrodkowe | 82 |
1. Definicja | 82 |
2. Przypadek przestrzeni metrycznej | 83 |
3. Produkt kartezjański przestrzeni ośrodkowych | 84 |
§ 17. Przestrzenie zwarte | 85 |
1. Definicja. Przypadek przestrzeni metrycznej | 85 |
2. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych | 87 |
3. Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych zwartych | 88 |
4. Przestrzeń C(X; Y) | 90 |
§ 18. Przestrzenie spójne | 91 |
1. Definicja. Zbiory spójne w przestrzeni R | 91 |
2. Kryteria spójności | 92 |
3. Zastosowanie: funkcje cyklometryczne i funkcja logarytmiczna | 93 |
Rozdział II. Elementy analizy funkcjonalnej | 96 |
§ 19. Przestrzenie unormowane | 96 |
1. Przestrzenie liniowe | 96 |
2. Przykłady | 98 |
3. Podstawowe pojęcia geometryczne | 98 |
4. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha | 99 |
5. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych | 101 |
6. Wektory statystyczne do zbioru. Hiperpłaszczyzna styczna | 102 |
7. Funkcje o wartościach w przestrzeni unormowanej | 103 |
8. Przestrzeń unormowana C(X; Y) | 104 |
§ 20. Przestrzenie unitarne | 105 |
1. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta | 105 |
2. Ortogonalność. rzut ortogonalny | 107 |
3. Przestrzenie unitarne skończenie wymiarowe | 108 |
§ 21. Funkcje liniowe | 110 |
1. Definicja. Funkcje liniowe ciągłe | 110 |
2. Zbiór funkcji liniowych ciągłych L(X; Y) jako przestrzeń unormowana | 111 |
3. Przykłady | 113 |
§ 22. Funkcje wieloliniowe | 115 |
1. Definicja. Funkcje wieloliniowe ciągłe | 115 |
2. Przestrzeń L(X1,...,Xk; Y) | 116 |
3. Przykłady | 116 |
§ 23. Szeregi | 119 |
1. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności | 119 |
2. Przykłady | 121 |
3. Szeregi zbieżne bezwzględnie | 123 |
4. Szeregi liczb nieujemnych | 125 |
5. Szeregi podwójne elementów przestrzeni unormowanej | 127 |
6. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu szeregów | 130 |
7. Szeregi podwójne liczb nieujemnych | 131 |
8. Szeregi funkcyjne | 133 |
§ 24. Izomorfizmy i izometrie | 136 |
1. Przestrzenie izomorficzne | 136 |
2. Przestrzenie izometryczne | 138 |
3. Przykłady | 139 |
Rozdział III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego | 142 |
§ 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej | 142 |
1. Definicje | 142 |
2. Interpretacja geometryczna pochodnej | 143 |
3. Podstawowe reguły różniczkowania | 146 |
§ 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych | 149 |
1. Przykłady | 149 |
2. Pochodna nieskończona | 152 |
3. Twierdzenie Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego | 152 |
4. Reguły de L'Hospitala | 154 |
§ 27. Ogólne twierdzenia o przyrostach dla funkcji zmiennej rzeczywistej | 157 |
1. Problem uogólnienia twierdzeń Lagrange'a i Cauchy'ego na przypadek funkcji o wartościach w przestrzeniach unormowanych | 157 |
2. Zastosowanie: pochodna granicy | 158 |
§ 28. Pochodne wyższych rzędów funkcji zmiennej rzeczywistej | 160 |
1. Definicje | 160 |
2. Zastosowanie pochodnej rzędu drugiego do badania wypukłości funkcji | 162 |
3. Wzór Taylora | 164 |
4. Szereg Taylora | 168 |
5. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej | 169 |
§ 29. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych rzeczywistych | 171 |
1. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego | 171 |
2. Twierdzenie o przyrostach. Warunek Lipschitza | 172 |
3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów | 173 |
§ 30. Pochodne kierunkowe | 175 |
1. Definicje | 175 |
2. Związek z pochodnymi cząstkowymi | 175 |
§ 31. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona | 177 |
1. Funkcja pierwotna | 177 |
2. Całka nieoznaczona | 179 |
3. Reguły całkowania | 179 |
4. Całkowanie funkcji elementarnych | 180 |
§ 32. Całka oznaczona funkcji ciągłej | 186 |
1. Definicja | 186 |
2. Wzory rachunkowe | 187 |
3. Nierówności. Twierdzenie o wartości średniej | 188 |
Rozdziały IV. Równania różniczkowe zwyczajne | 191 |
§ 33. Ogólna teoria równań różniczkowych | 191 |
1. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zagadnienia początkowe | 191 |
2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego | 192 |
3. Układy równań różniczkowych rzędu pierwszego | 199 |
4. Równania różniczkowe wyższych rzędów | 200 |
§ 34. Równania różniczkowe liniowe | 203 |
1. Układy równań liniowych rzędu pierwszego | 203 |
2. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach | 206 |
3. Równanie liniowe rzędu n | 209 |
4. Równanie liniowe rzędu n o stałych współczynnikach | 212 |
Rozdział V. Ogólna teoria różniczkowa | 215 |
§ 35. Pochodna funkcji określonej na podzbiorze przestrzeni unormowanej | 215 |
1. Definicja. Związek z pochodną kierunkową | 215 |
2. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej | 216 |
3. Interpretacja geometryczna pochodnej | 217 |
4. Przykłady | 219 |
5. Liniowość operacji różniczkowania | 220 |
6. Twierdzenia o przyrostach | 222 |
§ 36. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Związek z pochodnymi cząstkowymi | 224 |
1. Pochodna funkcja określonej na podzbiorze przestrzeni Rm | 224 |
2. Uogólnienie: pochodna funkcji określonej na podzbiorze produktu przestrzeni unormowanych | 224 |
3. Pochodna funkcji o wartościach w produkcie przestrzeni unormowanych | 228 |
4. Synteza obu przypadków | 229 |
§ 37. Różniczkowanie złożenia | 231 |
1. Ogólne twierdzenie o pochodnej złożenia | 231 |
2. Różniczkowanie złożenia w przestrzeniach arytmetycznych | 233 |
3. Uogólnione twierdzenie o pochodnej iloczynu | 234 |
§ 38. Dyfeomorfizmy | 235 |
1. Różniczkowanie funkcji odwrotnej | 235 |
2. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy | 238 |
§ 39. Funkcje uwikłane | 240 |
1. Ogólne twierdzenie o funkcjach uwikłanych | 240 |
2. Funkcje uwikłane określone układem równań w przestrzeniach arytmetycznych | 243 |
§ 40. Pochodne wyższych rzędów | 245 |
1. Wstęp | 245 |
2. Pochodna rzędu drugiego | 246 |
3. Pochodna rzędu n | 248 |
4. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej rzędu n | 250 |
5. Funkcje klasy Cn | 251 |
6. Pochodna rzędu n funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Związek z pochodnymi cząstkowymi | 253 |
7. Wzór Taylora | 253 |
§ 41. Ekstrema funkcji | 260 |
1. Definicja | 260 |
2. Kryteria | 260 |
Rozdział VI. Teoria miary i całki | 266 |
§ 42. Ogólna teoria miary | 266 |
1. Wstęp | 266 |
2. ?-ciała | 266 |
3. Miara | 267 |
4. Miara zewnętrzna | 271 |
§ 43. Miara Lebesgue'a w Rm | 276 |
1. Przedziały. Objętość przedziału | 276 |
2. Miara Lebesgue'a | 279 |
3. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a | 281 |
§ 44. Funkcje mierzalne | 289 |
1. Definicja | 289 |
2. Działania na funkcjach mierzalnych | 291 |
§ 45. Całka funkcji mierzalnej nieujemnej | 295 |
1. Całka funkcji prostej nieujemnej | 295 |
2. Definicja całki funkcji mierzalnej nieujemnej | 299 |
3. Podstawowe własności całki | 301 |
4. Twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki | 305 |
5. Całka jako funkcja zbioru | 305 |
§ 46. Całka funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha | 307 |
1. Całka funkcji prostej | 307 |
2. Całkowalność i definicja całki | 310 |
3. Podstawowe własności funkcji całkowalnych | 312 |
4. Przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych | 318 |
5. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki | 319 |
6. Całka jako funkcja zbioru | 322 |
§ 47. Całka Lebesgue'a | 324 |
1. Wstęp | 324 |
2. Całka funkcji ciągłej | 324 |
3. Całka funkcji jednej zmiennej. Całki niewłaściwe | 327 |
4. Zasada Cavalieriego | 334 |
5. Geometryczna interpretacja całki funkcji mierzalnej nieujemnej | 340 |
6. Całkowanie przez sprowadzenie do całki iterowanej | 341 |
7. Całkowanie przez podstawienie | 349 |
8. Całka jako funkcja parametrów | 360 |
Rozdział VII. Całki na hiperpowierzchniach | 364 |
§ 48. Hiperpowierzchnie | 364 |
1. Definicja | 364 |
2. Odwzorowania regularne pozdbiorów przestrzeni Rk w przestrzeniach Rm (k?m). Dyfeomorfizmy | 367 |
3. Hiperpowierzchnie gładkie i kawałkami gładkie | 370 |
4. Łuki i kontury | 377 |
5. Podprzestrzeń styczna i hiperpłaszczyzna styczna | 378 |
§ 49. Miara i całka na powierzchniach | 382 |
1. Objętość równoległościanu k-wymiarowego w Rm | 382 |
2. Miara i całka na hiperpowierzchni gładkiej | 385 |
3. Miara i całka na hiperpowierzchni kawałkami gładkiej | 391 |
§ 50. Formy różniczkowe | 394 |
1. Funkcje wieloliniowe skośnie symetryczne | 394 |
2. Iloczyn zewnętzny funkcji wieloliniowych skośnie symetrycznych | 396 |
3. Formy różniczkowe | 401 |
4. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych | 401 |
5. Różniczka zewnętrzna funkcji | 403 |
6. Postać kanoniczna formy różniczkowej | 403 |
7. Różniczka zewnętrzna formy różniczkowej | 405 |
8. Zamiana zmiennych w formach różniczkowych | 409 |
§ 51. Orientacja hiperpowierzchni | 412 |
1. Orientacja przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej | 412 |
2. Orientacja podprzestrzeni (k-1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej | 414 |
3. Orientacja hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie orientowalne | 415 |
§ 52. Całka formy różniczkowej na hiperpowierzchni zorientowanej | 424 |
1. Definicja i podstawowe własności całki | 424 |
2. Twierdzenie o rozkładzie jedności | 429 |
3. Twierdzenie Stokesa | 432 |
§ 53. Całka 1-formy po drodze | 446 |
1. Definicja i podstawowe własności całki | 446 |
2. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania | 449 |
3. Przypadek formy zamkniętej | 452 |
4. Interpretacja w teorii pola | 458 |
Rozdział VIII. Funkcje zmiennej zespolonej | 460 |
§ 54. Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie zespolonej | 460 |
1. Pochodna. Funkcje holomorficzne | 460 |
2. Szeregi potęgowe | 461 |
3. Kryterium różniczkowalności | 464 |
4. Całkowanie po drodze. Funkcja pierwotna | 466 |
5. Logarytm | 467 |
6. Całka krzywoliniowa | 469 |
§ 55. Wzór całkowy Cauchy'ego i jego konsekwencje | 473 |
1. Wzór całkowy Cauchy'ego | 473 |
2. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Funkcje analityczne | 474 |
3. Zera funkcji holomorficznej | 476 |
4. Rozwinięcie funkcji holomorficznej w szeregu Laurenta | 476 |
5. Punkty osobliwe odosobnione | 478 |
6. Residua funkcji holomorficznej | 479 |
Rozdział IX. Wstęp do analizy harmonicznej | 483 |
§ 56. Szeregi Fouriera | 483 |
1. Szereg Fouriera funkcji okresowej | 483 |
2. Kryterium Diniego | 487 |
3. Funkcje o wahaniu skończonym | 492 |
4. Kryterium Jordana | 493 |
§ 57. Wzór całkowy Fouriera | 497 |
1. Wstęp | 497 |
2. Kryteria przedstawialności funkcji wzorem całkowym Fouriera | 498 |
Literatura | 502 |
Skorowidz | 503 |