POLECAMY
Wydawca:
Format:
pdf, ibuk
Wydawnictwo Naukowe PWN przedstawia podręcznik związany z analizą układów dynamicznych, którą można wykorzystać w różnych aspektach zagadnień – zarówno gospodarczych, fizycznych czy społecznych.
Podręcznik Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych wprowadza Czytelnika w świat wykorzystania równań różniczkowych w takich dyscyplinach jak biologia, chemia, inżynieria, ekonomia czy nauki społeczne.
Cytując Autorów: „Wybraliśmy zatem formę przewodnika po klasycznych układach dynamicznych i ich zastosowaniach. Prezentując główne wyniki tej teorii, często rezygnowaliśmy z podawania ich formalnych dowodów, a w zamian staraliśmy się wyjaśniać ich istotę: dlaczego one zachodzą, jakie jest znaczenie poszczególnych założeń, dlaczego są one potrzebne i jak wpływają na zastosowania.
Takie podejście i wybór tematów wynikający z zainteresowań autorów powodują, że narracja książki nie jest jednostajna i niektóre zagadnienia omówione są z detalami, a niektóre, być może równie ważne, opracowano mniej szczegółowo. Jednakże mamy nadzieję, że wadę tę kompensuje włączenie do książki tematów nieczęsto spotykanych w standardowych podręcznikach równań różniczkowych (…). W związku z tym nasza monografia powinna zapełnić pewne luki w polskojęzycznej literaturze przedmiotu.”
Autorami tej wyjątkowej pozycji są naukowcy Politechniki Łódzkiej – prof. dr hab. inż. Jacek Banasiak oraz dr hab. Katarzyna Szymańska-Dębowska, prof. PŁ.
Publikację Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych kierujemy do pracowników naukowych, doktorantów i studentów starszych lat różnych wydziałów uczelni technicznych, ale również uniwersyteckich takich jak matematyka, informatyka, fizyka, chemia, biologia, automatyka i robotyka, ekonomia i inne, zainteresowanych zastosowaniami układów dynamicznych w różnych dziedzinach nauk stosowanych.
Znaczenie praktyczne modelowania za pomocą równań różniczkowych istotnie wzrosło wraz z rozwojem metod numerycznych i mocy obliczeniowej komputerów umożliwiających efektywne rozwiązywanie równań różniczkowych w sposób przyjazny dla użytkownika. Błędem jest jednak natychmiastowe zastosowanie narzędzi obliczeniowych do otrzymanego w procesie modelowania równania różniczkowego bez próby jego przeanalizowania i wydedukowania jego własności na podstawie struktury równania. Na przykład udowodnienie, że otrzymane równanie w ogóle ma rozwiązanie, pokazuje, że przy konstruowaniu równania nie wykorzystano wzajemnie wykluczających się założeń. Jednoznaczność rozwiązań zapewnia, że procedura numeryczna nie będzie „skakać” pomiędzy rożnymi rozwiązaniami, a ciągłość rozwiązań względem małych zaburzeń danych pozwala na użycie metod numerycznych, które przecież operują tylko przybliżonymi danymi. Niezależnie od tych podstawowych korzyści znajomość ogólnych własności rozwiązań pozwala z jednej strony uniknąć wielu błędów, z drugiej zaś strony umożliwia uproszczenie procedur numerycznych. W związku z tym w niniejszej książce skupimy się na teorii równań różniczkowych i pominiemy jej aspekt numeryczny. (…)
Wybraliśmy zatem formę przewodnika po klasycznych układach dynamicznych i ich zastosowaniach. Prezentując główne wyniki tej teorii, często rezygnowaliśmy z podawania ich formalnych dowodów, a w zamian staraliśmy się wyjaśniać ich istotę: dlaczego one zachodzą, jakie jest znaczenie poszczególnych założeń, dlaczego są one potrzebne i jak wpływają na zastosowania.
Takie podejście i wybór tematów wynikający z zainteresowań autorów powodują, że narracja książki nie jest jednostajna i niektóre zagadnienia omówione są z detalami, a niektóre, być może równie ważne, opracowano mniej szczegółowo. Jednakże mamy nadzieję, że wadę tę kompensuje włączenie do książki tematów nieczęsto spotykanych w standardowych podręcznikach równań różniczkowych takich jak pochodne Diniego i nierówności różniczkowe, układy monotoniczne i nieujemność rozwiązań, nierożniczkowalne funkcje Lapunowa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lapunowa, osobliwie zaburzone układy równań różniczkowych, jednostajne na [0,∞) twierdzenie Tichonowa i rozwiązania typu canard, omówienie fal biegnących i tzw. metody tangensa hiperbolicznego ich konstruowania w kontekście teorii układów dynamicznych oraz tzw. metoda macierzy następnego pokolenia w epidemiologii matematycznej. W związku z tym nasza monografia powinna zapełnić pewne luki w polskojęzycznej literaturze przedmiotu.
Fragment wstępu
Rok wydania | 2023 |
---|---|
Liczba stron | 350 |
Kategoria | Analiza matematyczna |
Wydawca | Wydawnictwo Naukowe PWN |
ISBN-13 | 978-83-01-23020-3 |
Numer wydania | 1 |
Język publikacji | polski |
Informacja o sprzedawcy | ePWN sp. z o.o. |
POLECAMY
Ciekawe propozycje
Spis treści
Wstęp | 9 |
1. Wybrane fakty z analizy i algebry liniowej | 11 |
1.1. Podstawowe pojęcia i definicje | 11 |
1.1.1. Symbole Landaua O i o | 13 |
1.2. Macierze | 14 |
1.2.1. Funkcje macierzy | 14 |
1.2.2. Wartości i wektory własne macierzy | 16 |
1.2.3. Dodatniość w przestrzeniach wektorowych | 23 |
1.2.4. Macierze Metzlera i twierdzenie Perrona-Frobeniusa | 24 |
1.3. Uogólnienia pojęcia różniczkowalności | 30 |
1.4. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych | 33 |
1.4.1. Twierdzenie Taylora | 34 |
1.5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej | 35 |
2. Równania różniczkowe i różnicowe | 37 |
2.1. Równania różnicowe | 37 |
2.1.1. Liniowe równanie różnicowe | 38 |
2.1.2. Równania różnicowe sprowadzalne do równania liniowego | 40 |
2.2. Przegląd równań różniczkowych zwyczajnych mających jawne rozwiązania | 44 |
2.2.1. Równania o zmiennych rozdzielonych | 45 |
2.2.2. Równania liniowe | 53 |
2.2.3. Wybrane równania wyższych rzędów | 55 |
2.2.4. Równania redukowalne do równań pierwszego rzędu | 56 |
3. Zagadnienie Cauchy’ego | 65 |
3.1. Podstawowe pojęcia | 65 |
3.2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań | 66 |
3.2.1. Pojęcia i wyniki pomocnicze | 66 |
3.2.2. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa | 68 |
3.2.3. Przedłużanie rozwiązań | 70 |
3.2.4. Rozwiązalność układów równań liniowych | 76 |
3.2.5. Inne twierdzenia o istnieniu rozwiązań | 86 |
3.2.6. Ciągła zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów | 89 |
3.2.7. Nieujemność rozwiązań | 92 |
3.2.8. Nieujemność rozwiązań układów równań liniowych | 93 |
3.3. Nierówności różniczkowe | 94 |
4. Układy dynamiczne | 107 |
4.1. Pojęcia podstawowe | 107 |
4.2. Długookresowa dynamika układów liniowych | 109 |
4.3. Trajektorie, portrety fazowe i zbiory graniczne | 114 |
4.3.1. Trajektorie i ich własności | 114 |
4.3.2. Elementarne metody szkicowania portretów fazowych | 117 |
4.3.3. Zbiory graniczne | 126 |
4.4. Stabilność rozwiązań | 130 |
4.5. Topologiczna równoważność układów dynamicznych | 140 |
5. Funkcja Lapunowa i jej uogólnienia | 145 |
5.1. Lokalna stabilność punktu stałego | 145 |
5.2. Globalna stabilność punktu stałego | 153 |
5.3. Zasada LaSalle’a | 157 |
5.4. Stabilność brzegowych punktów stałych | 160 |
5.5. Nieróżniczkowalne funkcje Lapunowa | 164 |
5.6. Twierdzenia odwrotne do twierdzenia Lapunowa i ich zastosowania | 172 |
6. Dalsze aspekty teorii układów dynamicznych | 183 |
6.1. Rozmaitość stabilna, niestabilna, centralna | 183 |
6.2. Odwzorowanie Poincarégo | 203 |
6.3. Twierdzenie Poincarégo-Bendixona | 209 |
6.4. Kryterium Bendixona i uogólnienie Dulaca | 218 |
6.5. Bifurkacje | 225 |
6.5.1. Bifurkacje lokalne | 225 |
6.5.2. Bifurkacja Hopfa | 230 |
6.5.3. Bifurkacje globalne | 237 |
7. Modele wieloskalowe i zaburzone układy równań różniczkowych | 245 |
7.1. Twierdzenie Tichonowa | 247 |
7.2. Jednostajne twierdzenie Tichonowa | 252 |
7.3. Opóźniona wymiana stabilności | 257 |
7.3.1. Bifurkacja transkrytyczna | 259 |
7.3.2. Bifurkacja widłowa | 263 |
7.3.3. Bifurkacja wsteczna | 264 |
8. Fale wędrujące | 275 |
8.1. Fale wędrujące w kontekście układów dynamicznych | 276 |
8.2. Metody konstrukcji rozwiązań w postaci fal wędrujących | 294 |
8.2.1. Metoda tangensa hiperbolicznego i jej uogólnienia | 295 |
8.2.2. Potrzebne i niepotrzebne uogólnienia | 300 |
9. Podstawowa liczba reprodukcyjna | 305 |
9.1. Dodatkowe własności macierzy Metzlera | 305 |
9.2. Definicja podstawowej liczby reprodukcyjnej | 306 |
9.2.1. Macierz następnego pokolenia | 306 |
9.3. Matematyczna definicja R0 | 309 |
9.4. R0 a lokalna i globalna stabilność DFE | 322 |
Skorowidz | 335 |
Bibliografia | 339 |