Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych

Spis treści

Z przedmowy do wydania I	5
Przedmowa do wydania II	5
Przedmowa do wydania III	6
Przedmowa do wydania V	6
Przedmowa do wydania VI	6
Przedmowa do wydania X	7
Przedmowa do wydania XII	7
Część pierwsza. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY	11
Rozdział I. Liczby, zbiory i funkcje	11
1. Wstęp	11
2. Liczby wymierne	11
3. Zbiory liczb	13
4. Przekrój Dedekinda zbioru liczb wymiernych	14
5. Liczby rzeczywiste	15
6. Liczby - ? i l?l	17
7. Uporządkowanie liczb rzeczywistych	17
8. Cztery działania na liczbach rzeczywistych	18
9. Potęga i logarytm	18
10. Wzór dwumienny Newtona	20
11. Nierówności	21
12. Liczby rzeczywiste i punkty prostej	22
13. Przekroje zbioru liczb rzeczywistych	23
14. Kresy zbioru liczb	23
15. Zbiory dowolne. Działania na zbiorach	25
16. Iloczyn kartezjański zbiorów	27
17. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne	28
18. Funkcje, czyli odwzorowania zbiorów	30
19. Funkcja złożona i odwrotna	33
20. Funkcje liczbowe jednej zmiennej	34
21. Funkcje monotoniczne	35
22. Funkcje parzyste, nieparzyste, symetryczne i okresowe	35
23*. Skale funkcyjne	36
24. Funkcje elementarne	36
25. Rozkład wielomianu na czynniki	40
26. Funkcje ograniczone. Wahanie funkcji	41
27. Ciąg liczbowy nieskończony	42
28. Ciągi monotoniczne i ograniczone	42
29. Prawie wszystkie wyrazy ciągu	43
Ćwiczenia do rozdziału I	44
Rozdział II. Przestrzenie, granice i ciągłość funkcji	46
1. Przestrzeń metryczna. Punkt skupienia zbioru	46
2. Przestrzenie euklidesowe	48
3. Zbiory i przestrzenie liniowe	50
4. Granica ciągu liczbowego	51
5. Twierdzenia i uwagi ogólne	53
6. Pewne kryteria zbieżności ciągów liczbowych	54
7. Cztery działania na ciągach liczbowych	55
8. Ciąg częściowy. Punkt skupienia ciągu	58
9*. Ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne	59
10. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa	60
11. Ciąg punktów przestrzeni metrycznej. Przestrzeń zwarta	61
12. Ciągi Cauchy'ego. Przestrzeń zupełna	62
13. Granica funkcji w punkcie	63
14. Granice jednostronne	65
15. Cztery działania na funkcjach liczbowych	66
16. Granice niewłaściwe	67
17. Granica funkcji w nieskończoności	68
18. Wyznaczenie granic trzech ciągów	69
19. Liczba e	70
20. Wyznaczenie granic dwóch funkcji	72
21. Funkcje ciągłe	73
22. Ciągłość funkcji elementarnych	75
23. Zbiory punktów liniowej przestrzeni metrycznej	76
24. Podstawowe własności funkcji liczbowych ciągłych	77
25. Ciągłość jednostajna funkcji w zbiorze	79
26. Funckje liczbowe półciągłe i nieciągłe	79
27. Odwzorowania jednokrotne. Homeomorfizm	81
28. Funkcje cyklometryczne	82
29. Ciągłość funkcji złożonej	84
30. Logarytm naturalny	84
Ćwiczenia do rozdziału II	85
Rozdział III. Pochodne funkcji jednej zmiennej	88
1. Iloraz różnicowy i pochodna	88
2. Interpretacje pochodnej	90
3. Pochodne funkcji elementarnych	90
4. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu	92
5. Pochodna funkcji odwrotnej	93
6. Pochodne funkcji cyklometrycznych	95
7. Pochodna funkcji złożonej	95
8. Pochodna logarytmiczna	96
9. Funkcje hiperboliczne	97
10*. Różniczkowanie graficzne	98
11. Funkcje odwzorujące przedział w przestrzeń R^k	98
12. Pochodne wyższych rzędów	99
13. Granice ekstremalne ciągu	102
14. Granice i pochodne ekstremalne funkcji	104
15. Twierdzenie o wartości średniej	105
16. Wnioski z twierdzenia o wartości średniej	106
17. Wzór Taylora	108
18. Wzór Maclaurina	109
19. Przykłady i zastosowania	110
20. Maksima i minima	111
21. Inne warunki wystarczające dla ekstremów	112
22. Wypukłość. Punkt przegięcia	114
23. Badanie funkcji określonej wzorem	115
24. Symbole nieoznaczone typu ⁰/₀ i ^?/_?	117
25. Symbole 0 o ?, ?-? i inne	118
26*. Reszta Peana	119
27*. Porównywanie wzrostu dwóch funkcji. Symbole o i O	120
28. Przybliżone rozwiązywanie równań	121
Ćwiczenia do rozdziału III	124
Rozdział IV. Szeregi liczbowe i funkcyjne	128
1. Szereg liczbowy	128
2. Warunek konieczny zbieżności	129
3. Szereg geometryczny	130
4. Szeregi o wyrazach nieujemnych	130
5. Kryterium Cauchy'ego	131
6. Kryterium d'Alamberta	132
7*. Uwagi ogólne	132
8. Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych	134
9. Działania na szeregach	135
10. Szereg przemienny	135
11. Zmiana porządku wyrazów szeregu	136
12. Mnożenie szeregów	137
13. Reszty szeregu	139
14. Szereg funkcyjny i ciąg funkcyjny	140
15. Zbieżność jednostajna	140
16. Kryteria zbieżności jednostajnej	142
17. Uogólnienie twierdzeń poprzednich	144
18. Różniczkowanie szeregu	145
19. Szeregi potęgowe	147
20. Szereg pochodny	148
21. Szereg Taylora	149
22. Przykłady	150
23. Równość dwóch szeregów potęgowych	152
24. Działania na szeregach potęgowych	152
25. Twierdzenie Abela	154
26*. Sumowalność szeregów rozbieżnych	155
Ćwiczenia do rozdziału IV	157
Rozdział V. Pochodne funkcji wielu zmiennych	159
1. Pochodne cząstkowe funkcji liczbowych dwu zmiennych	159
2. Interpretacja geometryczna	160
3. Pochodne kierunkowe	160
4. Pochodna zupełna i gradient funkcji	161
5. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego	163
6. Pochodne wyższych rzędów	165
7. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej	165
8. Wzór Taylora dla funkcji dwu zmiennych	167
9. Uogólnienie na funkcje n zmiennych	168
10. Funkcje jednorodne	171
11. Formy kwadratowe	172
12. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów i wzór Taylora	173
13. Maksima i minima	175
14. Funkcje uwikłane	177
15. Ekstrema funkcji uwikłanej	181
16. Funkcja uwikłana wielu zmiennych	181
17. Odwzorowania wielowymiarowe. Jakobian	181
18. Linie i rozciągłości wielowymiarowe	184
19. Układ funkcji uwikłanych	186
20. Odwzorowania odwrotne i złożone	188
21. Maksima i minima warunkowe	189
22. Twierdzenie Borela o pokryciu	191
23. Pewne nierówności	193
Ćwiczenia do rozdziału V	193
Rozdział VI. Uzupełnienia	195
1. Interpolacja. Wzór Lagrange'a	195
2. Wzór interpolacyjny Newtona	197
3. Różnice funkcji	198
4. Wzór Newtona przy równych odstępach	199
5. Ciągi i szeregi funkcjne wielu zmiennych	200
6. Szereg Taylora dla funkcji dwu zmiennych	201
7. Równowartość trójkątowa zbioru	202
8. Funkcje równociągłe i rodziny zwarte	204
9. Ciągi i szeregi liczbowe podwójne	205
10. Szeregi potęgowe podwójne	208
11. Ciągi i szeregi n-krotne	209
12. Iloczyny nieskończone	210
13. Zbiory liniowe unormowane. Przestrzeń Banacha	213
14. Przekształcenia liniowe	215
15. Przekształcenia i formy wieloliniowe	217
16. Przestrzeń operacji i uwagi ogólne	219
Ćwiczenia do rozdziału VI	220
Rozdział VII. Zastosowania geometryczne i fizyczne pochodnych	221
1. Krzywa o równaniu y = y (x)	221
2. Krzywizna krzywej	222
3. Asymptoty	223
4. Krzywa o równaniach x = x (t), y = y (t)	224
5. Przykłady	225
6. Krzywa o równaniu biegunowym r = r (?)	228
7. Krzywa o równaniu uwikłanym F(x, y) = 0	229
8. Punkty osobliwe krzywej F(x, y) = 0	231
9. Styczność krzywych	232
10. Obwiednia rodziny krzywych	233
11. Krzywe przestrzenne	234
12. Trójścian Freneta	237
13. Krzywizna krzywej przestrzennej	238
14. Skręcenie krzywej	239
15. Powierzchnia o równaniu F(x, y, z) = 0	241
16*. Powierzchnia określona parametrycznie	243
17*. Krzywizna powierzchni	244
18. Pole wektorowe. Gradient i potencjał	247
19. Dywergencja i rotacja	248
20. Operatory: nabla i laplasjan	249
21. Pole wektorowe płaskie	250
Ćwiczenia do rozdziału VII	251
Część druga. RACHUNEK CAŁKOWY	255
Rozdział VIII. Całki nieoznaczone	255
1. Funkcja pierwotna	255
2. Wzory podstawowe	256
3. Całkowanie sumy i iloczynu	257
4. Związek całki z polem	257
5. Całkowanie przez części	258
6. Całkowanie przez podstawienie	259
7. Wzory rekurencyjne	260
8. Przykłady	261
9. Trudności obliczania całek	263
10. Całkowanie funkcji wymiernych	263
11. Całkowanie funkcji niewymiernych	266
12*. Całki eliptyczne i hipereliptyczne	270
13. Całkowanie funkcji trygonometrycznych	271
14*. Całkowanie kilku innych klas funkcji	272
Ćwiczenia do rozdziału VIII	273
Rozdział IX. Całki oznaczone pojedyncze	276
1. Sumy przybliżone	276
2. Całka oznaczona Riemanna	277
3. Całka górna i całka dolna	278
4. Twierdzenia o całkowalności	280
5. Wnioski ogólne	281
6. Całka sumy i iloczynu	282
7. Miara Jordana zbioru	283
8. Interpretacja geometryczna całki	285
9. Własności całek oznaczonych	285
10. Granice całkowania	288
11. Całka jako funkcja granicy całkowania	288
12. Związek między całką oznaczoną i całką nieoznaczoną	290
13. Przekształcanie całek oznaczonych	290
14. Twierdzenia o wartości średniej dla całek	292
15. Całki niewłaściwe	294
16. Kryteria zbieżności całki niewłaściwej	297
17. Całka Dirichleta	300
18. Kryterium całkowe zbieżności szeregów	303
19. Całkowanie szeregu	305
20. Całkowanie przez rozwinięcie w szereg	307
21. Całkowanie przybliżone	309
Ćwiczenia do rozdziału IX	311
Rozdział X. Zastosowanie całek. Szeregi trygonometryczne	313
1. Zastoswanie całek do obliczania pól	313
2. Długość krzywej. Krzywe gładkie	315
3*. Funkcje o zmienności ograniczonej	319
4. Parametr kanoniczny krzywej	320
5. Wzory Freneta	322
6*. Znak skręcenia krzywej	323
7. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej	325
8. Funkcja określona za pomocą całki właściwej	327
9. Funkcja określona za pomocą całki niewłaściwej	330
10. Funkcja gamma Eulera	332
11. Wzór Stirlinga	333
12. Szeregi trygonometryczne	335
13. Szereg Fouriera	337
14. Analiza harmoniczna	340
15. Zbieżność szeregu Fouriera	341
16*. Interpolacja trygonometryczna	344
17*. Twierdzenie Fejéra	346
18*. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa	347
19*. Całka Fouriera	349
20. Szeregi ortogonalne	350
21*. Układy ortogonalne z wagą. Wielomiany Czebyszewa, Hermite'a i Laguerre'a	355
22. Przestrzeń funkcyjna F i przestrzeń R^?	357
23. Całka jako funkcjonał	357
Ćwiczenia do rozdziału X	358
Rozdział XI. Całki podwójne i wielokrotne	360
1. Całka podwójna w prostokącie	360
2. Całka górna i całka dolna	361
3. Twierdzenia o całkowalności	362
4. Interpretacja geometryczna całki	362
5. Całki iterowane	363
6. Zamiana całki podwójnej na iterowaną	363
7. Całka podwójna w zbiorze dowolnym	365
8. Całka podwójna w obszarze regularnym	366
9. Obszar normalny	368
10. Zastosowanie całki podwójnej do obliczania objętości	369
11. Pole płata powierzchniowego	370
12. Powierzchnie jednostronne	374
13. Całka potrójna	375
14. Całka potrójna w obszarze regularnym	377
15. Całka n-krotna	378
16. Przekształcenia ciągłe na płaszczyźnie	379
17. Przekształcenia ciągłe w przestrzeni	382
18*. Homeomorfizm	383
19. Przekształcenie osiowe	384
20. Złożenie przekształceń	385
21. Zmiana zmiennych w całce wielokrotnej	386
22. Całki wielokrotne niewłaściwe	389
23. Funkcja określona za pomocą całki wielokrotnej	391
24. Zastosowania do zagadnień fizyki	392
25. Reguły Guldina	395
26*. Potencjał newtonowski i potencjał logarytmiczny	396
Ćwiczenia do rozdziału XI	398
Rozdział XII. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe	400
1. Łuki i krzywe gładki	400
2. Całka krzywoliniowa	400
3. Zamiana całki krzywoliniowej na całkę zwykłą	402
4. Całka krzywoliniowa nieozrientowana	404
5*. Uogólnienie. Całka Riemanna-Stieltjesa	407
6. Krzywe zamknięte. Obszary jednospójne i wielospójne na płaszczyźnie	410
7. Twierdzenie Greena	410
8. Zastosowanie do obliczania pól. Planimetry	412
9*. Zastosowanie do przekształcenia całki podwójnej	413
10. Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania na płaszczyźnie	414
11. Uogólnienie na całki krzywoliniowe w przestrzeni R³	416
12. Całka różniczki zupełnej	417
13. Interpretacja wektorowa	418
14. Całka powierzchniowa	420
15. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego	424
16. Twierdzenie Stokesa	426
Ćwiczenia do rozdziału XII	427
Rozdział XIII. Całka Lebesgue'a	430
1. Uwagi wstępne	430
2. Ciała zbiorów. Zbiory Borela	430
3. Miara zbioru	431
4. Miara Lebesgue'a zbioru liniowego	432
5. Twierdzenia pomocnicze	435
6. Twierdzenia podstawowe	436
7. Funkcje mierzalne	438
8. Funkcje Baire'a	440
9. Całka Lebesgue'a w przedziale	440
10. Uwagi o definicji całek Riemanna i Lebesgue'a	442
11. Całka Lebesgue'a w zbiorze mierzalnym	443
12. Własności całki Lebesgue'a	443
13. Całka funkcji nieograniczonej	445
14. Całka w przedziale nieograniczonym	446
15. Całka nieoznaczona Lebesgue'a	446
16. Całka Lebesgue'a-Stieltjesa-Radona	447
Ćwiczenia do rozdziału XIII	448
Rozdział XIV. Równania różniczkowe	450
1. Równanie różniczkowe zwyczajne	450
2. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych	452
3. Równanie różniczkowe rodziny krzywych	453
4. Interpretacja geometryczna całkowania równań	454
5. Warunek istnienia i jednoznaczności rozwiązania	455
6. Równania różniczkowe równoważne	456
7. Całka ogólna równania różniczkowego	456
8. Równanie o zmiennych rozdzielonych	457
9. Całkowanie równania metodą podstawienia	459
10. Równanie różniczkowe jednorodne	459
11. Zastosowanie. Trajektorie rodziny krzywych	461
12. Równanie różniczkowe liniowe	462
13. Równanie Bernoulliego	463
14*. Równanie Riccatiego	464
15. Równianie różniczkowe zupełne	464
16. Czynnik całkujący	465
17*. Całka pierwsza równania różniczkowego	467
18*. Punkty osobliwe równania różniczkowego	467
19. Równanie Clairauta. Całka osobliwa	469
20. Układy równań różniczkowych	470
21*. Warunek Lipschitza	471
22*. Dowód istnienia całki równań różniczkowych	472
23*. Zastosowanie do równań wyższych rzędów	475
24. Proste typy równań różniczkowych rzędu drugiego	476
25. Zastosowanie do ruchu wahadłowego	478
26. Całkowanie przez szeregi potęgowe	479
27. Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego	481
28. Równania jednorodne specjalne	484
29. Równanie liniowe niejednorodne rzędu drugiego	486
30. Równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach	487
31. Zastosowanie do ruchu drgającego	488
32*. Zagadnienie brzegowe. Wartości własne i funkcje własne	489
33. Równania różniczkowe sprzężone	490
34. Równania różniczkowe cząstkowe	491
35. Uwagi o całkach równań różniczkowych cząskowych	492
36. O trzech typach równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego	493
37. Uwagi ogólne o równaniach rzędu drugiego	494
Ćwiczenia do rozdziału XIV	496
Dodatek. Ogólne twierdzenie Stokesa	499
1. Wstęp	499
2. Formy różniczkowe zewnętrzne	499
3. Pojęcia pomocnicze z topologii	503
4. Twierdzenie Stokesa	505
5. Dwa twierdzenia Greena	508
6. Wzory Greena	509
Bibliografia	512
Skorowidz nazw	513