POLECAMY
Koszyk
Równania różniczkowe cząstkowe
Autor:
Wydawca:
Format:
ibuk
Dział matematyki zajmujący się równaniami różniczkowymi cząstkowymi nie stanowi jednej spójnej teorii. Matematycy posługują się tutaj różnymi teoriami dotyczącymi poszczególnych typów równań, a obok tego istnieją rozmaite metody znajdowania szczególnych rozwiązań dla wybranych równań.
Podręcznik Evansa, w odróżnieniu od większości pozycji literatury tego przedmiotu, zawiera większość materiału, jaką ambitny wykładowca chciałby przekazać swoim studentom. Jego głównym celem jest wyjaśnienie fundamentalnych idei i pojęć z zakresu równań różniczkowych cząstkowych.
Część pierwsza dotyczy znajdowania analitycznych rozwiązań wybranych równań, część druga zawiera teorię układów równań liniowych, trzecia zaś teorię układów równań nieliniowych, w której to tematyce autor jest wysokiej klasy specjalistą.
Podręcznik na wskroś nowoczesny, o szerokiej tematyce i niezwykle trafnym doborze materiału w zakresie treści i metod, tego, co najważniejsze w dziedzinie równań różniczkowych cząstkowych. Po jego przestudiowaniu czytelnik będzie w pełni przygotowany do studiowania bieżącej literatury na każdy temat tego działu matematyki.
Książka przeznaczona jest dla studentów matematyki i kierunków ścisłych uniwersytetów i uczelni technicznych oraz dla zawodowych matematyków.
12 maja 2004 roku Paweł Strzelecki otrzymał nagrodę im. Jerzego Kuryłowicza dla tłumacza literatury naukowej za 2003 rok za całokształt twórczości ze szczególnym uwzględnieniem współtłumaczenia tego podręcznika.
| Rok wydania | 2008 |
|---|---|
| Liczba stron | 632 |
| Kategoria | Algebra |
| Wydawca | Wydawnictwo Naukowe PWN |
| ISBN-13 | 978-83-01-15627-5 |
| Numer wydania | 1 |
| Język publikacji | polski |
| Informacja o sprzedawcy | ePWN sp. z o.o. |
Ciekawe propozycje
Spis treści
| Przedmowa | 13 |
| 1. Wprowadzenie | 17 |
| 1.1. Równania różniczkowe cząstkowe | 17 |
| 1.2. Przykłady | 19 |
| 1.2.1. Pojedyncze równania różniczkowe cząstkowe | 19 |
| 1.2.2. Układy równań różniczkowych cząstkowych | 21 |
| 1.3. Strategie badania równań | 22 |
| 1.3.1. Zagadnienia dobrze postawione i rozwiązania klasyczne | 22 |
| 1.3.2. Słabe rozwiązania i regularność | 23 |
| 1.3.3. Typowe trudności | 24 |
| 1.4. Przegląd treści | 24 |
| 1.5. Zadania | 27 |
| Część I. PRZYKŁADOWE WZORY ROZWIĄZAŃ | 31 |
| 2. Cztery ważne równania liniowe | 31 |
| 2.1. Równanie transportu | 31 |
| 2.1.1. Zagadnienie początkowe | 32 |
| 2.1.2. Zagadnienie niejednorodne | 32 |
| 2.2. Równanie Laplace’a | 33 |
| 2.2.1. Rozwiązanie podstawowe | 34 |
| 2.2.2. Własność wartości średniej | 38 |
| 2.2.3. Własności funkcji harmonicznych | 40 |
| 2.2.4. Funkcja Greena | 46 |
| 2.2.5. Metody energetyczne | 54 |
| 2.3. Równanie przewodnictwa cieplnego | 56 |
| 2.3.1. Rozwiązanie podstawowe | 57 |
| 2.3.2. Własność wartości średniej | 64 |
| 2.3.3. Własności rozwiązań. | 67 |
| 2.3.4. Metody energetyczne | 74 |
| 2.4. Równanie falowe | 77 |
| 2.4.1. Rozwiązanie metodą średnich sferycznych | 78 |
| 2.4.2. Zagadnienie niejednorodne | 91 |
| 2.4.3. Metody energetyczne | 93 |
| 2.5. Zadania | 96 |
| 2.6. Uwagi bibliograficzne. | 99 |
| 3. Nieliniowe równania pierwszego rzędu | 100 |
| 3.1. Całki zupełne i obwiednie | 101 |
| 3.1.1. Całki zupełne | 101 |
| 3.1.2. Obwiednie i nowe rozwiązania | 103 |
| 3.2. Metoda charakterystyk | 105 |
| 3.2.1. Wyprowadzenie równania charakterystyk | 105 |
| 3.2.2. Przykłady | 108 |
| 3.2.3. Warunki brzegowe | 111 |
| 3.2.4. Rozwiązanie lokalne | 114 |
| 3.2.5. Zastosowania | 118 |
| 3.3. Wprowadzenie do równań Hamiltona–Jacobiego | 123 |
| 3.3.1. Rachunek wariacyjny i równania Hamiltona | 124 |
| 3.3.2. Przekształcenie Legendre’a i wzór Hopfa–Laxa | 128 |
| 3.3.3. Słabe rozwiązania. Jednoznaczność | 136 |
| 3.4. Wprowadzenie do praw zachowania | 143 |
| 3.4.1. Fale uderzeniowe, warunek wzrostu entropii | 143 |
| 3.4.2. Wzór Laxa–Olejnik | 150 |
| 3.4.3. Słabe rozwiązania i ich jednoznaczność | 154 |
| 3.4.4. Zagadnienie Riemanna | 159 |
| 3.4.5. Zachowanie dla długich czasów | 162 |
| 3.5. Zadania | 167 |
| 3.6. Uwagi bibliograficzne | 169 |
| 4. Inne metody reprezentacji rozwiązań | 171 |
| 4.1. Rozdzielanie zmiennych | 171 |
| 4.2. Rozwiązania samopodobne | 175 |
| 4.2.1. Fale biegnące i płaskie. Solitony | 175 |
| 4.2.2. Podobieństwo i skalowanie | 183 |
| 4.3. Transformata Fouriera i transformata Laplace’a | 185 |
| 4.3.1. Transformata Fouriera | 185 |
| 4.3.2. Transformata Laplace’a | 193 |
| 4.4. Zamiana równań nieliniowych na liniowe | 196 |
| 4.4.1. Transformata Hopfa–Cole’a | 196 |
| 4.4.2. Potencjały i przepływy bezwirowe | 198 |
| 4.4.3. Metoda hodografu i przekształcenie Legendre’a | 199 |
| 4.5. Metody asymptotyczne | 201 |
| 4.5.1. Zaburzenia osobliwe | 201 |
| 4.5.2. Metoda Laplace’a | 206 |
| 4.5.3. Optyka geometryczna. Stacjonarna faza | 208 |
| 4.5.4. Homogenizacja | 218 |
| 4.6. Szeregi potęgowe | 221 |
| 4.6.1. Powierzchnie niecharakterystyczne | 221 |
| 4.6.2. Funkcje analityczne w sensie rzeczywistym | 225 |
| 4.6.3. Twierdzenie Cauchy’ego i Kowalewskiej | 227 |
| 4.7. Zadania | 232 |
| 4.8. Uwagi bibliograficzne | 234 |
| Część II. TEORIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH | 237 |
| 5. Przestrzenie Sobolewa | 237 |
| 5.1. Przestrzenie H¨oldera | 238 |
| 5.2. Przestrzenie Sobolewa | 239 |
| 5.2.1. Słabe pochodne | 240 |
| 5.2.2. Definicja przestrzeni Sobolewa | 242 |
| 5.2.3. Elementarne własności słabych pochodnych | 245 |
| 5.3. Aproksymacja. | 247 |
| 5.3.1. Wewnętrzna aproksymacja funkcjami gładkimi | 247 |
| 5.3.2. Aproksymacja funkcjami gładkimi | 249 |
| 5.3.3. Aproksymacja funkcjami gładkimi do brzegu włącznie | 250 |
| 5.4. Przedłużanie | 252 |
| 5.5. Ślady | 255 |
| 5.6. Nierówności Sobolewa | 259 |
| 5.6.1. Nierówność Gagliarda–Nirenberga–Sobolewa | 259 |
| 5.6.2. Nierówność Morreya | 264 |
| 5.6.3. Ogólne nierówności Sobolewa | 267 |
| 5.7. Zwartość | 269 |
| 5.8. Dodatkowe informacje | 272 |
| 5.8.1. Nierówności Poincar´ego | 272 |
| 5.8.2. Ilorazy różnicowe | 274 |
| 5.8.3. Różniczkowalność prawie wszędzie | 277 |
| 5.8.4. Wykorzystanie transformaty Fouriera | 279 |
| 5.9. Inne przestrzenie funkcyjne | 280 |
| 5.9.1. Przestrzeń H-1 | 280 |
| 5.9.2. Przestrzenie funkcji zależnych od czasu | 282 |
| 5.10. Zadania | 286 |
| 5.11. Uwagi bibliograficzne | 289 |
| 6. Równania eliptyczne drugiego rzędu | 290 |
| 6.1. Definicje | 290 |
| 6.1.1. Równania eliptyczne | 290 |
| 6.1.2. Słabe rozwiązania | 292 |
| 6.2. Istnienie słabych rozwiązań. | 294 |
| 6.2.1. Twierdzenie Laxa–Milgrama | 294 |
| 6.2.2. Oszacowania energetyczne | 296 |
| 6.2.3. Alternatywa Fredholma | 298 |
| 6.3. Regularność | 304 |
| 6.3.1. Regularność we wnętrzu | 305 |
| 6.3.2. Regularność na brzegu | 311 |
| 6.4. Zasady maksimum | 320 |
| 6.4.1. Słaba zasada maksimum | 321 |
| 6.4.2. Mocna zasada maksimum | 323 |
| 6.4.3. Nierówność Harnacka | 327 |
| 6.5. Wartości własne i funkcje własne | 327 |
| 6.5.1. Wartości własne symetrycznych operatorów eliptycznych | 328 |
| 6.5.2. Wartości własne niesymetrycznych operatorów eliptycznych | 333 |
| 6.6. Zadania | 337 |
| 6.7. Uwagi bibliograficzne | 340 |
| 7. Liniowe równania ewolucyjne | 341 |
| 7.1. Równania paraboliczne drugiego rzędu | 341 |
| 7.1.1. Definicje | 341 |
| 7.1.2. Istnienie słabych rozwiązań | 344 |
| 7.1.3. Regularność rozwiązań | 349 |
| 7.1.4. Zasady maksimum | 357 |
| 7.2. Równania hiperboliczne drugiego rzędu | 367 |
| 7.2.1. Definicje | 367 |
| 7.2.2. Istnienie słabych rozwiązań | 369 |
| 7.2.3. Regularność rozwiązań | 376 |
| 7.2.4. Rozchodzenie się zaburzeń | 382 |
| 7.2.5. Równania w dwu zmiennych | 385 |
| 7.3. Układy hiperboliczne równań pierwszego rzędu | 388 |
| 7.3.1. Definicje | 388 |
| 7.3.2. Symetryczne układy hiperboliczne | 390 |
| 7.3.3. Układy ze stałymi współczynnikami | 396 |
| 7.4. Teoria półgrup | 400 |
| 7.4.1. Definicje, podstawowe własności | 400 |
| 7.4.2. Konstrukcja półgrup kontrakcji | 406 |
| 7.4.3. Zastosowania | 408 |
| 7.5. Zadania | 412 |
| 7.6. Uwagi bibliograficzne | 414 |
| Część III. TEORIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH | 417 |
| 8. Rachunek wariacyjny | 417 |
| 8.1. Wprowadzenie | 417 |
| 8.1.1. Podstawowe pomysły. | 417 |
| 8.1.2. Pierwsza wariacja i równanie Eulera–Lagrange’a | 418 |
| 8.1.3. Druga wariacja | 421 |
| 8.1.4. Układy równań | 423 |
| 8.2. Istnienie minimów | 428 |
| 8.2.1. Warunek wymuszania i półciągłość z dołu | 428 |
| 8.2.2. Wypukłość | 430 |
| 8.2.3. Słabe rozwiązania równania Eulera–Lagrange’a | 434 |
| 8.2.4. Układy | 437 |
| 8.3. Regularność | 442 |
| 8.3.1. Oszacowania pochodnych drugiego rzędu | 442 |
| 8.3.2. Uwagi o wyższej regularności | 445 |
| 8.4. Więzy | 446 |
| 8.4.1. Nieliniowe zagadnienia na wartości własne | 447 |
| 8.4.2. Więzy jednostronne i nierówności wariacyjne | 450 |
| 8.4.3. Przekształcenia harmoniczne | 453 |
| 8.4.4. Nieściśliwość | 455 |
| 8.5. Punkty krytyczne | 459 |
| 8.5.1. Twierdzenie o przełęczy górskiej | 460 |
| 8.5.2. Zastosowanie do półliniowych równań eliptycznych | 464 |
| 8.6. Zadania | 469 |
| 8.7. Uwagi bibliograficzne | 472 |
| 9. Metody niewariacyjne | 473 |
| 9.1. Monotoniczność | 473 |
| 9.2. Metody punktu stałego | 479 |
| 9.2.1. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym | 480 |
| 9.2.2. Twierdzenia Schaudera i Schaefera o punkcie stałym | 483 |
| 9.3. Metoda podrozwiązań i nadrozwiązań | 488 |
| 9.4. Nieistnienie | 491 |
| 9.4.1. Wybuchy | 491 |
| 9.4.2. Tożsamość Derricka–Pochożajewa | 494 |
| 9.5. Geometryczne własności rozwiązań | 497 |
| 9.5.1. Gwiaździste poziomice | 497 |
| 9.5.2. Symetria radialna | 498 |
| 9.6. Potoki gradientowe | 502 |
| 9.6.1. Funkcje wypukłe na przestrzeniach Hilberta | 502 |
| 9.6.2. Subróżniczki i półgrupy nieliniowe | 507 |
| 9.6.3. Zastosowania | 512 |
| 9.7. Zadania | 514 |
| 9.8. Uwagi bibliograficzne | 515 |
| 10. Równania Hamiltona–Jacobiego | 517 |
| 10.1. Wprowadzenie: rozwiązania lepkościowe | 517 |
| 10.1.1. Definicje | 519 |
| 10.1.2. Zgodność różnych definicji rozwiązania | 521 |
| 10.2. Jednoznaczność | 524 |
| 10.3. Teoria sterowania i programowanie dynamiczne | 528 |
| 10.3.1. Wprowadzenie do teorii sterowania | 528 |
| 10.3.2. Programowanie dynamiczne | 529 |
| 10.3.3. Równanie Hamiltona–Jacobiego–Bellmana | 531 |
| 10.3.4. Wzór Hopfa–Laxa po raz drugi | 537 |
| 10.4. Zadania | 540 |
| 10.5. Uwagi bibliograficzne | 541 |
| 11. Układy praw zachowania | 542 |
| 11.1. Wstęp | 542 |
| 11.1.1. Rozwiązania całkowe | 544 |
| 11.1.2. Fale biegnące, układy hiperboliczne | 547 |
| 11.2. Zagadnienie Riemanna | 553 |
| 11.2.1. Fale proste | 553 |
| 11.2.2. Fale rozrzedzeniowe | 555 |
| 11.2.3. Fale uderzeniowe i nieciągłości kontaktowe | 556 |
| 11.2.4. Lokalne rozwiązania zagadnienia Riemanna | 562 |
| 11.3. Układy dwóch praw zachowania | 565 |
| 11.3.1. Niezmienniki Riemanna | 565 |
| 11.3.2. Nieistnienie gładkich rozwiązań | 569 |
| 11.4. Kryteria entropijne | 571 |
| 11.4.1. Znikająca lepkość, fale biegnące | 572 |
| 11.4.2. Para entropii i strumienia entropii | 575 |
| 11.4.3. Jednoznaczność dla skalarnego prawa zachowania | 578 |
| 11.5. Zadania | 582 |
| 11.6. Uwagi bibliograficzne | 583 |
| DODATKI | 584 |
| A. Oznaczenia | 584 |
| A.1. Macierze | 584 |
| A.2. Oznaczenia geometryczne | 585 |
| A.3. Funkcje | 586 |
| A.4. Funkcje o wartościach wektorowych | 589 |
| A.5. Konwencja zapisu oszacowań | 590 |
| A.6. Kilka uwagna temat oznaczeń | 591 |
| B. Nierówności | 591 |
| B.1. Funkcje wypukłe | 591 |
| B.2. Nierówności elementarne | 592 |
| C. Twierdzenia rachunku różniczkowego | 596 |
| C.1. Gładkość brzegu | 596 |
| C.2. Twierdzenie Gaussa–Greena | 598 |
| C.3. Współrzędne biegunowe i wzór na całkowanie po włóknach | 599 |
| C.4. Splot i wygładzanie | 599 |
| C.5. Twierdzenie o funkcji odwrotnej | 602 |
| C.6. Twierdzenie o funkcji uwikłanej | 603 |
| C.7. Zbieżność jednostajna | 605 |
| D. Liniowa analiza funkcjonalna | 605 |
| D.1. Przestrzenie Banacha | 605 |
| D.2. Przestrzenie Hilberta | 606 |
| D.3. Ograniczone operatory liniowe | 607 |
| D.4. Słaba zbieżność | 609 |
| D.5. Operatory zwarte i teoria Fredholma | 610 |
| D.6. Operatory symetryczne | 614 |
| E. Teoria miary | 615 |
| E.1. Miara Lebesgue’a | 615 |
| E.2. Funkcje mierzalne i całkowanie | 616 |
| E.3. Twierdzenia o zbieżności dla całek. | 617 |
| E.4. Różniczkowanie | 618 |
| E.5. Funkcje o wartościach w przestrzeni Banacha | 618 |
| Bibliografia | 621 |
| Literatura uzupełniająca do wydania polskiego | 624 |
| Skorowidz | 625 |
Wypożyczaj w abonamencie!
Już od 2,66 zł za ebooka
