INNE EBOOKI AUTORA
Autor:
Wydawca:
Format:
ibuk
Nowoczesny podręcznik analizy matematycznej odpowiadający programowi wykładu trzysemestralnego. Praca napisana poglądowo, precyzyjnie i nowocześnie. Przedstawia szeroki krąg zagadnień analizy matematycznej wraz z bardzo cennymi przykładami i zastosowaniami. Zakres materiału obejmuje: rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, elementy funkcji holomorficznych, podstawy teorii równań różniczkowych zwyczajnych, elementy teorii miary i całki Lebesque'a, podstawowe informacje o szeregach Fouriera oraz transformacjach całkowych.
Rok wydania | 2001 |
---|---|
Liczba stron | 536 |
Kategoria | Analiza matematyczna |
Wydawca | Wydawnictwo Naukowe PWN |
ISBN-13 | 978-83-0113-554-6 |
Numer wydania | 1 |
Język publikacji | polski |
Informacja o sprzedawcy | ePWN sp. z o.o. |
INNE EBOOKI AUTORA
EBOOKI WYDAWCY
POLECAMY
Ciekawe propozycje
Spis treści
Przedmowa | 5 |
Rozdział I. Wstęp do matematyki | 13 |
1.1 Elementy logiki i teorii zbiorów | 13 |
1.1.1. Rachunek zdań | 13 |
1.1.2. Reguły wnioskowania | 16 |
1.1.3. Funkcja zdaniowa i kwantyfikatory | 17 |
1.1.4. Działania na zbiorach | 18 |
Zadania | 20 |
1.2. Funkcje i relacje | 21 |
1.2.1. Relacje | 21 |
1.2.2. Relacje równoważności | 22 |
1.2.3. Funkcja | 24 |
1.2.4. Ciąg | 24 |
1.2.5. Działania na funkcjach | 25 |
1.2.6. Obrazy i przeciw obrazy | 29 |
Zadania | 31 |
1.3. Zbiory liczbowe | 31 |
1.3.1. Liczby naturalne | 31 |
1.3.2. Ciała | 32 |
1.3.3. Liczby wymierne i rzeczywiste | 34 |
1.3.4. Liczby zespolone | 36 |
1.3.5. Postać trygonometryczna liczb zespolonych | 38 |
Zadania | 42 |
Rozdział II. Ciągi i szeregi | 44 |
2.1. Przestrzenie metryczne I | 44 |
2.1.1. Przykłady przestrzeni metrycznych | 44 |
2.1.2. Kule w przestrzeniach metrycznych | 46 |
2.1.3. Zbieżność | 48 |
Zadania | 51 |
2.2. Ciągi | 52 |
2.2.1. Własności ciągów liczbowych | 52 |
2.2.2. Ciągi liczb rzeczywstych | 53 |
2.2.3. Metody obliczania granic | 55 |
2.2.4. Ciągi rozbieżne do nieskończoności | 60 |
2.2.5. Ciągi ograniczone | 63 |
Zadania | 68 |
2.3. Szeregi | 69 |
2.3.1. Szeregi liczbowe | 69 |
2.3.2. Kryteria zbieżności szeregów | 72 |
2.3.3. Szeregi potęgowe | 77 |
2.3.4. Szeregi funkcyjne | 79 |
2.3.5. Uzupełnienia | 82 |
Zadania | 86 |
Rozdział III. Ciągłość | 87 |
3.1. Przestrzenie metryczne II | 87 |
3.1.1. Zbiory otwarte i domknięte | 87 |
3.1.2. Zbiory zwarte | 91 |
3.1.3. Przestrzeń zupelna | 92 |
3.1.4. Zasada Banacha | 94 |
Zadania | 100 |
3.2. Granica ciągłości funkcji | 101 |
3.2.1. Definicja ciągowa (Hinego) | 101 |
3.2.2. Definicja otoczeniowa (Cauchy'ego) | 105 |
3.2.3. Działania na funkcjach ciągłych | 108 |
3.2.4. Przykłady | 110 |
Zadania | 117 |
3.3. Własności funkcji ciągłych | 118 |
3.3.1. Własności Darboux | 118 |
3.3.2. Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych | 121 |
3.3.3. Przestrzeń funkcji ciagłych | 123 |
Zadania | 127 |
Rozdział IV. Różniczkowalność | 128 |
4.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej | 128 |
4.1.1. Definicja pochodnej | 128 |
4.1.2. Podstawowe twierdzenia | 131 |
4.1.3. Pochodna funkcji elementarnych | 133 |
4.1.4 Przykłady | 135 |
4.1.5. Pochodna wyższych rzędów | 139 |
Zadania | 142 |
4.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania | 143 |
4.2.1. Twierdzenie o wartości średniej | 143 |
4.2.2. Wzór Taylora | 146 |
4.2.3. Badanie przebiegu zmienności funkcji | 152 |
4.2.4. Reguła de L'Hospitala | 159 |
4.2.5. Przybliżone rozwiązanie równań | 163 |
Zadania | 166 |
4.3. Pochodna funkcji wielu zmiennych | 167 |
4.3.1. Elementy algebry liniowej | 167 |
4.3.2. Pochodna cząstkowa | 172 |
4.3.3. Pochodna Frecheta | 173 |
4.3.4. Pochodna kierunkowa | 176 |
4.3.5. Zastosowanie różniczki i pochodnej | 180 |
4.3.6. Pochodna funkcji złożonej | 183 |
4.3.7. Pchodna cząstkowa wyższych rzędów | 185 |
4.3.8. Pochodna w przestrzeniach unormowanych | 187 |
4.3.9. Operatory teori pola | 188 |
Zadania | 189 |
4.4. Ekstremum funkcji | 192 |
4.4.1. Wzór Taylora | 192 |
4.4.2. Ekstrema lokalne | 194 |
4.4.3. Ekstrema globalne | 200 |
Zadania | 201 |
4.5. Twierdzenie o funkcji odwrotnej i jego zastosowanie | 202 |
4.5.1. Twierdzenie o fnkcji odwrotnej | 202 |
4.5.2. Twierdzenie o funkcji uwikłanej | 208 |
4.5.3. Powierzchnie | 213 |
4.5.4. Powierzchnie domknięte i kawałkami gładkie | 220 |
4.4.5. Ekstrema warunkowe | 222 |
Zadania | 229 |
Rozdział V. Całki | 231 |
5.1. Całka nieoznaczona | 231 |
5.1.1. Definicja całki nieoznaczonej | 231 |
5.1.2. Podstawa całki | 232 |
5.1.3. Całkowane przez część | 233 |
5.1.4. Całkowane przez podstawienie | 235 |
5.1.5. Całkowanie fukcji wymiernych | 237 |
5.1.6. Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych | 242 |
Zadania | 247 |
5.2. Całka oznaczona | 248 |
5.2.1. Definicja całki oznaczonej | 248 |
5.2.2. Całkowalność funkcji | 251 |
5.2.3. Własności całki oznaczonej | 254 |
5.2.4. Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną | 256 |
5.2.5. Zastosowanie geometryczne całki | 257 |
5.2.6. Całki niewłaściwe i ich zastosowanie | 262 |
5.2.7. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki | 264 |
5.2.8. Różniczkowanie całki zależnej od parametru | 267 |
5.2.9. Uogólnienie: całka Reimanna-Stieltjesa i całka z funkcji o wartościach w Rn | 269 |
5.2.10. Funkcje specjalne | 270 |
Zadania | 270 |
5.3. Całki wielokrotne | 272 |
5.3.1. Definicja całki wielokrotnej | 272 |
5.3.2. Całka iterowana i wzór Fubiniego | 274 |
5.3.3. Całka wielokrotna po dowolnym zbiorze | 278 |
5.3.4. Zastosowanie całek wielokrotnych | 283 |
5.3.5. Twierdzenie o zmenie zmiennych | 287 |
Zadania | 294 |
5.4. Całki krzywoliniowe | 296 |
5.4.1. Orientacje | 296 |
5.4.2. Całka krzywoliniwa zorientowana | 303 |
5.4.3. Całka krzywoliniwa niezorientowana | 308 |
5.4.4. Związek całek zorientowanych i niezorientowanych | 309 |
5.4.5. Zastosowanie całek krzywoliniowych | 310 |
5.4.6. Wzór Greena i polo potencjalne | 311 |
Zadania | 316 |
5.5. Całki powierzchniowe | 317 |
5.5.1. Całka powierzchniowa niezorientowana | 317 |
5.5.2. Całka powierzchniowa zorientowana | 320 |
5.5.3. Twerdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego | 322 |
5.5.4. Twierdzenie Stokesa | 324 |
5.5.5. Równanie Poissona | 327 |
Zadania | 331 |
Rozdział VI. Funkcje zespolone | 333 |
6.1. Pochodna i całka | 333 |
6.1.1. Pochodna zespolona | 333 |
6.1.2. Równanie Cauchy'ego-Riemanna | 336 |
6.1.3. Całka zespolona | 338 |
6.1.4. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego | 340 |
Zadania | 344 |
6.2. Własności funkcji analitycznych | 345 |
6.2.1. Własności funkcji Cauchy'ego | 345 |
6.2.2. Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy | 346 |
6.2.3. Nierówność Cauchy'ego i zasada maksimum | 349 |
6.2.4. Szereg Laurenta i punkty osobliwe | 350 |
Zadania | 354 |
6.3. Zastosowanie funkcji analitcznych | 355 |
6.3.1. Rachunek residuów | 355 |
6.3.2. Funkcje harmoniczne | 359 |
Zadania | 365 |
Rozdział VII. Równania różniczkowe | 366 |
7.1. Metody rozwišzywania równań różniczkowych | 366 |
7.1.1. Uwagi ogólne | 366 |
7.1.2. Modele przyrodnicze prowadzące do równań różniczkowych zwyczajnych | 366 |
7.1.3. Równania o zmiennych rozdzielonych | 368 |
7.1.4. Równania zupełne | 373 |
7.1.5. Równanie liniowe i równanie Bernoulliego | 376 |
7.1.6. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań pierwszego rzędu | 380 |
7.1.7. Uwagi o efektywnym rozwiązywaniu równań różniczkowych | 383 |
Zadania | 383 |
7.2. Podstawowe twierdzenia | 384 |
7.2.1. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności | 384 |
7.2.2. Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych | 391 |
7.2.3. Cišgła zależność od warunków początkowych i pararmetru | 393 |
7.2.4. Metoda małego parametru | 396 |
7.2.5. Zastosowanie szeregów potęgowych w teorii równań różniczkowych | 400 |
Zadania | 402 |
7.3. Równania i układ równań liniowych | 403 |
7.3.1. Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności | 403 |
7.3.2. Układ liniowy jednorodny | 404 |
7.3.3. Rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego | 406 |
7.3.4. Układ jednorodny o stałym wspólczynnikach | 407 |
7.3.5. Układ niejednorodny ze stałą macierzą A | 416 |
7.3.6. Równanie liniowe | 418 |
7.3.7. Równanie liniowe o stałych wspólczynnikach | 419 |
7.3.8. Analiza równania drgań | 426 |
Zadania | 430 |
7.4. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych | 431 |
7.4.1. Równanie autonomiczne | 431 |
7.4.2. Układ zachowawczy | 434 |
7.4.3. Stabilność | 436 |
7.4.4. Twierdzenie Liouville'a | 439 |
Zadania | 442 |
7.5. Elementarne wiadomości o równaniach cząstkowych | 443 |
7.5.1. Równania cząstkowe pierwszego rzędu | 443 |
7.5.2. Równania cząstkowe drugiego rzędu | 447 |
Zadania | 451 |
Rozdział VIII. Teoria całki Lebesgue'a | 453 |
8.1. Przestrzeń z miarą | 454 |
8.1.1. Zbiory mierzalne | 454 |
8.1.2. Zbiory borelowskie | 455 |
8.1.3. Miara | 457 |
8.1.4. Miara Lebesgue'a | 458 |
8.1.5. Miara upełna | 458 |
8.1.6. Własności miary | 460 |
Zadania | 462 |
8.2. Funkcje mierzalne | 462 |
8.2.1. Definicja funkcji mierzalnej | 462 |
8.2.2. Własności funkcji mierzalnych | 463 |
8.2.3. Funkcje proste | 465 |
Zadania | 467 |
8.3. Całki Lebesgue'a | 467 |
8.3.1. Definicja całki Lebesgue'a | 467 |
8.3.2. Własności całki Lebesgue'a | 469 |
8.3.3. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki | 472 |
8.3.4. Całkowanie funkcji zespolonych | 478 |
8.3.5. Całka Lebesgue'a w R | 480 |
Zadania | 481 |
8.4. Szeregi Fouriera | 482 |
8.4.1. Przestrzeń L2 | 482 |
8.4.2. Przestrzeń unitarna i przestrzeń Hilberta | 484 |
8.4.3. Układ ortonormalny | 486 |
8.4.4. Szereg Fouriera | 490 |
8.4.5. Równanie Laplace'a w kole | 492 |
Zadania | 495 |
Rozdział IX. Dodatek | 496 |
9.1. Transformacja Fouriera | 496 |
9.1.1. Twierdzenie Fubiniego | 496 |
9.1.2. Splot | 497 |
9.1.3. transformacja Fouriera | 498 |
9.1.4. Odwrotna tranformacja Fouriera | 500 |
9.1.5. Równanie przewodnictwa cieplnego | 502 |
Zadania | 503 |
9.2. Transformacja Laplace'a | 504 |
9.2.1. Definicja transformaty Laplace'a | 504 |
9.2.2. Własności transformaty Laplace'a | 506 |
9.2.3. Zastosowania transformacji Laplace'a do rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych | 507 |
Zadania | 509 |
9.3. Elementy rachunku wariacyjnego | 509 |
9.3.1. Ekstrema funkcjonałów | 509 |
9.3.2. Ekstrema funkcjonału działania | 512 |
9.3.3. Przykłady | 515 |
9.3.4. Związek rachunku wariacyjnego z mechaniką Newtona | 522 |
Zadania | 523 |
Literatura uzupełniająca | 524 |
Skorowidz | 526 |